قوانین کپلر

در اواخر قرن شانزدهم و اوایل قرن هفدهم یوهان کپلر ستاره شناس معروف آلمانی توانست با استفاده از تجربیات بیست ساله منجم دانمارکی تیکو براهه سه قانون زیر را بدست آورد. بعدا ایزاک نیوتن به تصحیح و تکمیل این قوانین پرداخت. این قوانین از مهمترین و  معروفترین قوانین نجوم هستند.قانون اول کپلر یا قانون بیضوی ها مدار هر سیاره به شکل یک بیضی است که خورشید در یکی از کانونهای آن قرار دارد.‌(قانون مدار‌ها)ابتدا تعریف بیضی: بیضی به بیان ساده مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله هر نقطه از آن تا دو نقطه ثابت (که کانون بیضی نامیده میشوند) برابر مقدار ثابتی است. معمولا این مقدار را با2a  نشان میدهند . در ضمن فاصله بین دو کانون را هم با 2c نشان می‌دهند. اگر بیضی‌ای رسم کنید که مرکز بیضی روی مبدا باشد و قطر بزرگ بیضی را روی y=0 و قطر کوچک را روی x=0 در نظر بگیرید، شکلی شبیه به شکل 1خواهید داشت. نقاط دو سر قطر بزرگ که به آن محور اطول میگویند راس‌های بیضی نام دارد. البته در این نمودار مختصات این رئوس با (‌۰وa) و (0وa-) مشخص شده‌اند. محور کوچکتر محور اقصر نام دارد. رئوس این محور در شکل با (0وb-) و (bو‌۰) مشخص شده‌اند. اگر هر نقطه بیضی را به کانون‌ها وصل کنیم، بین این دو نقطه و مبدا یک مثلث قائم الزاویه درست می شود.یک نسبت مهم در بیضی « خروج از مرکز بیضی » می‌باشد که فرمول آن به این صورت است :e=c/a . اگرe=0 باشد، بیضی یک حالت خاص یعنی دایره است و اگر e=1 باشد، حالت خاص دیگر یعنی یک پاره خط داریم. هر چه e بیشتر باشد، کشیدگی بیضی بیشتر است.به راحتی می‌توان مشخصات مسیر حرکت سیارات به دور خورشید از قبیل خروج از مرکز و دیگر پارامتر‌ها را محاسبه کرد. از این مطلب که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید بیضی شکل است می‌توان این را نتیجه گرفت که فاصله سیاره تا خورشید به لحاظ واقع بودن بر مدار بیضی دارای حداقل و حداکثر است. کپلر بیش از 20 سال برای درک چگونگی مدارات سیارات زحمت کشید. او مدلهای مختلفی را امتحان نمود ولی  سرانجام نشان داد که صفحه مداری سیاره ها از خورشید می گذرد و کشف کرد که شکل مداری سیارات به صورت بیضی است. این قانون در سال 1609 میلادی انتشار یافت.قانون دوم کپلر یا قانون مسطح معادلخط مستقیم واصل سیاره و خورشید (شعاع حامل یک سیاره)، در فواصل زمانی مساوی مساحت‌های مساوی را در فضا جاروب می کند. یعنی برای مثال، در شکل 2 سیاره ای در مدت 1 ماه از A به B می رود. مدت زمانی که از C به D می رود نیز یک ماه است؛ اما اکنون از خورشید دورتر است. بنابراین فاصله A تا B باید بیشتر باشد تا سیاره در همان مدت یک ماه مساحتی برابر با مساحت اول را جاروب کند. به همین دلیل سیاره هنگامی که به خورشید نزدیکتر است با سرعت بیشتری حرکت می کند.قانون سوم کپلر یا قانون هارمونیکگفتیم که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید، مسیرهای بیضی شکل هستند.  حال اگر بتوانیم دوره تناوب حرکت سیاره را برحسب قطر بزرگ بیضی پیدا کنیم، ملاحظه می‌کنیم مربع دوره تناوب حرکت سیاره با توان سوم یا مکعب نصف قطر بزرگ بیضی متناسب است.  این بیان به عنوان قانون سوم کپلر معروف است و به این صورت بیان می‌شود که : نسبت مجذور زمان تناوب گردش دو سیاره برابر با نسبت مکعب نیم قطر اطول آنها است.کپلر برای به‌دست آوردن این فرمول 7 سال تلاش کرد. در آن زمان فاصله واقعی میان خورشید و سیارات معلوم نبود اما محاسبه نسبت فاصله یک سیاره تا خورشید به فاصله زمین تا خورشید میسر بود.  مثلا کپلر می‌دانست که نیم‌قطر اطول  مدار مریخ  تقریبا 1.5 برابر نیم‌قطر اطول  مدار زمین است. او متوجه شد اگر در هر سیاره نیم قطر اطول را به توان 3 و دوره گردش را به توان 2  برسانیم دو رقم به‌دست آمده با هم برابر می‌شوند و فقط اختلاف‌های اندکی برای برجیس (مشتری) و کیوان (زحل) دیده می‌شود. این مطلب را می‌توان به صورت  p² = r³نوشت که درآن p برحسب سال و r برحسب واحد نجومی (نیم قطر اطول زمین) است. می‌توانیم برای اندازه‌گیری دور گردش سیاره واحد روز و برای فاصله کیلومتر را انتخاب کنیم. در این صورت نباید انتظار داشته باشیم  p² = r³بلکه باید رابطه را به صورت p² = kr³ بنویسیم که در آن k ضریب ثابت است و مقدارش به واحدها بستگی دارد. برای مشخص کردن این موضوع معادله را می توان به این صورت نوشت :r₁³ / r₂³ = p₁³/ p₂³
که P1 و r1 برای جرمی است که میخواهیم این مقادیر را برایش بدست آوریم و P2 و r2 معمولاً برای زمین یا جرمی که این دو مقدار برای آن اندازه گیری شده است، می باشد.

 کاربرد قوانین کپلر با استفاده از قوانین کپلر می‌توان مدار حرکت سفینه‌های فضایی را پیشگویی نمود. به این صورت که مشخصات مداری را که سفینه پیرامون خورشید خواهد پیمود با استفاده از محاسبات ریاضی تعیین می‌کنند. البته این مسئله را در مورد اجرام سماوی مانند سیارات نیز می‌توان انجام داد.